東大の2019年数学について分析してみたいと思います。2019年の数学はどういった問題だったか、難易度はどんな感じかを一般的な東大生目線で語りたいと思います。
問題は代々木ゼミナールのサイトを参照。他の予備校のサイトでも問題はそろっています。
大問1…図形と方程式・微分
大問1は図形と方程式でした。（１）はqとrをpで表すのは、座標上で三角形の面積を求める方法が分かっていれば解答できるのでそれほど難しくないと思います。それぞれの範囲については０～１にあるのはすぐに分りますが与えられた条件からさらに小さな範囲になります。
私は（１）の範囲が分からず断念(というか計算ミスしました)。（２）は（１）の結果を使って式を微分し、最大値・最小値を求める問題だと思いますが、（１）がでミスっていたので詰みました。
大問2…図形と方程式・積分
大問2も図形と方程式ですが、ベクトルや積分の知識も問われています。（１）は容易。直線Lの方程式(線分OAの法線)を求め、あとは点と直線の距離の公式を知っていれば領域Dは出せるはず。面積は積分でOK。
問題なのは（２）。cosθ自体を求めるのは簡単ですがそのとりうる値の範囲を求めるという問題。cosの値がどのように推移していくかを考え、Pがどこにあれば最大・最少になるか判別をすればよいと思います。ただし最小値がとんでもない値になるので自分の解答に自信が持てず、計算確認で時間を費やした人が多そう。
私は完答。現役の受験生ではない管理人が唯一完答できた問題で、多分2019年で最も簡単な問題。計算ミスせずに最後まで行けたかどうかが合否を分けそう。
大問3…確率
大問3は確率で珍しいことに確率漸化式じゃないほうの確率でした。n回目のの問題ではないので両問ともに文字の入らない分数で答えは出ますがいかんせん10回もコイントスをするせいで樹形図等を書き、全パターンを考慮するゴリ押しタイプの解き方では解答不能でしょう。
（１）は簡単でこれが解けないと厳しいか。（２）はかなり面倒な問題。おそらく制限時間が無限ならだれでも答えられると思いますが、4問合わせ100分という与えられた時間内でこれを解答するにはどうすれば計算を簡単にできるか、その考え方が問われているような気がします。
私は（１）は分かりましたが、（２）に関して余事象を使おうと試みたものの膨大な計算量の前に屈し、最後まで解けず。
大問4…図形と方程式
大問4も図形と方程式です。ベクトルの知識も問われています。（１）の領域Dは余裕。見た瞬間答えが分かった受験生もいたでしょう。ただし領域Eは難しい。何となくどんな領域になるかは想像がつくがそれを数学的に示すのは結構きつい。
（２）の証明は全く手が出ませんでした。大問4はおそらく2019年で一番難しい問題だと思います。（１）領域Dの図示は最低限としてそこからどれくらい部分点を積めるかという問題。
まとめと感想
2019年の東大数学の特徴は出題傾向面からみると、整数問題が全く出題されていないことと確率漸化式が出なかったことですね。4問中3問が図形と方程式メインでそこに＋αとしてベクトル、微積を聞いてくる問題です。図形と方程式自体は見てきたように他の分野とからめやすいですが全体的な出題傾向としてはやや偏りがあった印象を受けます。
難易度としては全問誘導がついていたので部分点は得やすい問題で、完全に白紙になる大問は少なかったんじゃないかなあと感じました。ただし、誘導がしっかりしているがゆえに（１）から苦戦してしまった人は思うように点を伸ばせなかったかもしれません。（２）に関してはどれもそこそこ難しいです。強いて言えば大問2は受験生ならいけそうですが、大問1，3，4で完答するのはかなり難しいと思います。合格に必要な点数は科類や他教科との兼ね合いにもよりますが合格最低点ギリギリくらいなら各大問で（１）を解き、（２）で部分点を稼ぐ程度で十分じゃないでしょうか。全体的には可もなく不可もなく、標準的な難易度だと思います。
また理系と文系の共通問題もありませんでした。文理別の問題を作り、文系数学らしく、統計学や経済学の基本になるような問題を出題するということでしょうか。実際に図形と方程式や微積、確率あたりは文系であっても大学でお世話になりますし、逆に整数問題なんかはまず見ません。今後もこういった傾向が続くかどうかは注意する必要があると思います。
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